膜宇宙論の方程式系——確定核と第一原理化への道
※ 2026-08 に版番号系列を再編（旧 v2.29／v3.92 系列を継承）。日付が新しいほうが最新版です。
方程式系の確定核（畳まれ則・mu=eps・二重臨界 (c, d) = (1, 2)・補間則の帰属）に変更はありません。s₀ = 0.3515・T_m = 2.4492 は較正値のまま（M8 未達）、R4-a／R4-c の保留も据え置きです。2026-08-31〜09-20 に進んだのは膜の力学の拘束構造の解析です（基準文書 v2.36〜v2.65）。四次拘束の閉形式と主表象、全拘束のヤコビアンと一般配位での既約性、主表象が消える退化面が空でないこと（厳密有理数で配位を構成）、ゲージを固定しない共変な拘束解析、葉の次元が 3 以上のときの閉形式の候補などが得られました。ただし局所自由度の判定語は読み A で条件つき確定、または判定不能のままで、「自由度が確定した」とは書きません。並行して重力子スペクトルと Higuchi 境界の解析（thick 化した誘導重力での境界割れの帰属・薄膜と thick を結ぶ族での閉形式の一致・閾値の区間）が進みましたが、いずれも理論内の解析であり新しい観測予言はありません。零テストの実行設計（R2）は初めて実行段階に入り、現在密度は確定・履歴プロキシは「記憶をいつから積むか」の代理で充足（判定は保留）です。
方程式系の係数レベルの検証（R4-a〜d・2026-08-25）を反映しました。力学項の係数 (1, 1/2) は一般化族の d = 2 と同値で、d = 2 のときに限り 3 次以上が厳密にゼロ（打ち切りではなく厳密な 2 次多項式）。停留条件の 0 次・1 次係数が同時に消える唯一の点が (c, d) = (1, 2) であり、この一点でのみ深部 MOND（√ 型・平坦回転曲線・BTFR）が出ます。simple 型の補間則 μ(y) = y/(1+y) は (1, 2) と容量則 r(ε) = 1 − ε の厳密な帰結で、補間の自由度は残りません。ただしこれは「深部 MOND 極限を要求した場合の、一パラメータ族の内部での一意性」であり、第一原理からの導出ではありません。d = 2 の幾何的な読み（R4-a）と c と T_m の規格変換（R4-c）は未達・判定不能のまま保留です（再開条件 = Q-B3c′ の白黒）。s₀ = 0.3515・T_m = 2.4492 は較正値のまま（M8 未達）。あわせて膜の力学の拘束構造の解析（2026-08-27〜29）が進みましたが、自由度の判定語は [判定不能] のままです。
最大の変更は、弱重力レンズのスリップ署名が撤回されたことです（2026-08-22・AP-5）。旧版はこれを「膜を見分ける第二の柱」に掲げ、末尾で「現行の弱レンズ予言は外縁超過レンズ（スリップ η）」と明記していましたが、ずれを生む応力係数が第一原理から導出できず、現行のレンズ側の主張は「比は 1 のまま」という恒等予言 F5 ただ一つになりました。したがって膜固有の証拠になりうる観測経路は、ボイド銀河のヒステリシス零テスト（R1）一本です。あわせて「第一原理からの再導出は進行中」という一括表現を、形のレベルの微視的基礎は付与済み／数値の予言化（M8）は未達という二段の書き分けに改め、宇宙定数・crossover についての 2026-08-24 の線引きを追記しました。版番号系列も再編し、版スタンプを基準文書 v2.16（2026-08-24）に統一しています。
理論が「閉じている」とは、内部に矛盾がなく、すべての物理量が追加の仮定なしに自己無撞着に決まり、観測可能な予測を生成できることです。膜宇宙論では、構成則・平衡・回転曲線・MOND内挿・動力学が、少数のフリーパラメータから「形のレベル」で一つの体系に収まります。ここではその確定核と、新本線が進めている第一原理化の現在地を整理します。
① なぜ「閉じている」ことが重要か
物理理論は「閉じた方程式系」を持つとき、はじめて検証可能な予測を生成できます。閉じていない理論は、観測と合わないときに「未知のパラメータを調整する」ことができてしまい、反証不可能になります。膜宇宙論は、フリーパラメータを最小限（銀河ごとの Υ・vflat・rs）に抑え、回転曲線から動力学までを一体で記述します。
② 方程式系の骨格（確定核・継承）
新本線は既存核の確定式を継承します（基準文書 §9・数値は不変）。中心となる式は次のとおりです。
(4) ε₀ = √(1−c) … 折り畳み平衡（深部MOND極限）
(5) ε_eq(x, c) = [ −x + √((x+2)² − 4c) ] / 2 … 局所の展開度（x = g_N/(c·a₀)）
(7) g_obs = [ g_N + √( g_N² + 4·c·a₀·g_N ) ] / 2 … 畳まれ則（c=1 で MOND simple 形）
(9) s(Q; T_m) = 1 / (1 + exp(−ΔU/T_m)) … 塑性分率＝重力子の保持割合
(10) s₀ = 1/(1+exp(3/(2·T_m))) = 0.3515 … 深部極限の較正値（T_m = 2.4492 はここから決まる従属量）
(11) g_c/a₀ = s₀(1−s₀) = 0.228 … dSph アンカー（較正値由来）
(14) div[ μ(|∇Φ|/a₀)·∇Φ ] = 4πG·ρ_bar … 修正ポアソン（余剰重力の出力）
(16) 深部MOND: g = √(G·M_bar·a₀)/r ⇒ M_dist(r) ∝ r … 平坦回転曲線（ハロー）
③ MOND 補間則の導出
体系の核は、式(1)の弾性自由エネルギーの平衡条件から MOND 補間則が自然に出る点です。強い重力（内側）では膜が展開して重力子を手放し、ニュートン重力に戻る。弱い重力（外縁・ボイド）では折り畳みを保持して重力子を内包し、余分な重力が残る。境界を分けるのが普遍加速度 a₀ です。深部MOND極限では g_obs ≈ √(g_bar·a₀) となり、平坦回転曲線が出ます。MOND の「a₀」は、膜モデルでは臨界加速度 g_c の全銀河平均にあたる、という読み替えも得られます。これは理論の内部整合であって、標準MOND／ΛCDM との識別＝正の証拠ではありません。
④ g_c の銀河依存——幾何平均法則
臨界加速度 g_c は銀河ごとに異なります。これを観測量で定量化するのが幾何平均法則です。
「g_c＝定数」とみなす素朴 MOND は棄却されます（これは MOND 現象論全体の棄却ではなく、g_c の銀河依存を支持するという内部整合の結果）。SPARC 175銀河・LITTLE THINGS 26銀河で回転曲線の再現が確認されています。ただし後述のとおり、これらは標準MOND／ΛCDM と縮退しており、膜固有の正の証拠ではありません。なお幾何平均法則は公理ではなく導かれた結果で、旧体系の「条件15」という表記は撤回済みです（新体系の公理は条件1〜10）。
⑤ 動力学とヒステリシス——記憶を持つ膜
膜の時間発展は緩和方程式で書けます（τ_D·∂D/∂t = D_eq − D）。重要なのはヒステリシス（履歴依存）で、膜はいったん展開すると容易には戻れず（再折り畳みは展開より遅い：τ↓/τ↑ ≥ 3）、過去に到達した最大展開に凍結されます。これが「記憶」の物理的な実体で、標準MOND（記憶を持たない）との唯一の定性的な見分け——ヒステリシス零テスト——の土台になります。時間の不可逆性（時間の矢）とも地続きです。
現状は有意な信号なし＝「棄却」ではなく「未到達」です（試料が約89個で不足・3σ 検出に約 304〜672 個が必要・WALLABY 本サーベイ待ち）。
⑥ 応用——矮小楕円体銀河（dSph）
膜の二相構造の深部極限（c→0）から、dSph の中央加速度が書けます。塑性分率 s₀ のゆらぎ s₀(1−s₀)=0.228 が、dSph の中央加速度 0.228·a₀ を与えます（中央値レベルの一致・条件付き維持。個々の dSph が同じ値を取るという普遍性までは主張しません）。
s₀ は観測に合わせて定めた較正値であり、理論から予言された数値ではありません。予言値へ格上げすること（マイルストーン M8）は現在も未達です。したがって 0.228·a₀ と観測の一致は内部整合の記録であって、非自明な予測の的中ではありません。T_m = 2.4492 も s₀ から決まる従属量です。
⑦ 第一原理化の現在地（宇宙スケールの braneworld 型）
新本線では、これまで外部入力だったスケールを、単一の真空スケールと宇宙論的長さ ℓ_b=c/H₀ にまとめようとしています。
M_Pl² = M₅³·ℓ_b （M₅ ≈ 20.7 MeV・dS 膜でも係数 π/2 まで再現）
μ_fold = 2·σ·Δ （折り目の線張力）
深部MOND ⇔ スケール不変（臨界）の EOS：P ∝ X^(3/2)
ここでいう枠組みは、かつて「本質的に DGP 的」と書いていたものを精密化した宇宙スケール質量帯の braneworld 型（DGP の soft mass ≈ 2 H₀ ／ dS 膜のギャップ端 3H/2 から始まる連続体）です。soft mass ≈ 2 H₀ は Higuchi 境界 √2 H₀・dS 膜ギャップ端 1.5 H₀ と同じ狭い帯にあり、安全側に収まります（2026-08-25 の精密化：√2 H₀ と 1.5 H₀ は「離散的な束縛状態が存在できる窓」の両端、2H₀ はその窓の外（連続体の内部）にある桁ラベルであり、同じ構造の 3 点ではありません——「安全側」の読み自体は維持されます）。
※ DGP そのものは弦理論に埋め込めないことが知られています（S 行列の解析性による障害）。新本線が採るのは「重力子＝連続モード」という読み替えのほうで、これは dS 膜の構成（ゼロモード＋ギャップ端 3H/2 の連続体）と整合します。
この「三つを一つの束にまとめる」筋書きのうち、宇宙定数の緩和と距離による重力の弱まり（crossover）は、dS 膜の構成では再現されませんでした（toy の枠内で排除）。これらは DGP という特定の表現に専属する部分で、その DGP 自体に弦理論への埋め込み障害があります。一方 M_Pl² = M₅³·ℓ_b の関係は dS 膜でも係数 π/2 まで再現され、生き残ります（実測比 +0.18〜+0.21 dex）。どこまでが生き残り、どこからが表現依存かの切り分けがついた、というのが現在地です。
深部MOND の √則は、3次元でスケール不変（臨界）な状態方程式に対応します。この対応は見えていますが、「なぜ膜がその臨界状態に落ち着くのか」の第一原理化は未達です。
あわせて「第一原理からの再導出は進行中」という旧版の一括表現を、二段に分けて書き直します。(1) 形のレベルの微視的基礎は付与済み——基準文書 9章に v2.1 で追加され、上の式群がどんな微視的設定から出てくるかは書けています。(2) しかし数値の予言化は未達——s₀ = 0.3515 をはじめとする数値は依然として較正値であり、これを予言値へ格上げすること（マイルストーン M8）は現在も達成されていません。「形は付いたが、数はまだ当てにいっていない」というのが正確な現在地です。
⑧ 確立度の読み方——二軸で見る
本サイトの「確立度」は、2026年以降二つの軸で読みます。
- 軸1：内部整合——理論の中で数学的・統計的に成立しているか。上の方程式系（構成則・MOND導出・幾何平均法則・動力学・0.228 アンカー）は、この軸で確立〜示唆的です。
- 軸2：識別力——MOND や ΛCDM と「区別できる」証拠か。現時点で膜固有の正の証拠は存在しません（識別力軸はゼロ）。上の再現はすべて標準理論と縮退します。
- 弱重力レンズのスリップ署名（2026-08-22・AP-5 で撤回）——ずれを生む応力係数 λ が第一原理から導出できず、採択構成（λ = 0）の下では検定対象そのものが存在しない。現行は恒等予言 F5（比＝1）へ一本化。連動して反証点 F1〜F4 は退役。
- 「外縁超過レンズ」路線——旧版はこれを現行の弱レンズ予言として明記していましたが、成分2 は必要値まで約 5.1 桁不足し、永久に観測不可能です。
- 提案G（レンズ／力学のスリップ段差）——銀河団スケールで、強い版は約 4.8σ で反証、弱い版も排除。スリップ段差路線は null で完結。
- 旧 T-14・PSZ2 拡張・「14/16 で κG≥1.2」・κG=1.29 系の Hubble 接続（22σ 表記）——上記に伴い証拠能力を失い撤回・降格。
- 重い重力子（massive spin-2）由来の「レンズ質量＝力学質量の 3/4」——現行線は重い重力子前提を採らないため「折り目の幾何が決める比」へ降格され、さらに上位の slip 路線ごと AP-5 で撤回された。
- 版スタンプを v2.35（2026-08-30）から現行の v2.65（2026-09-20）へ更新。2026-08-31〜09-20 の理論内解析（基準文書 v2.36〜v2.65）と零テスト実行設計 R2 の前進を反映。確定核・SSoT は不変。
- 版スタンプを v2.16（2026-08-24）から現行の v2.35（2026-08-30）へ更新。2026-08-24〜08-30 の理論内解析（基準文書 v2.17〜v2.35）を反映。確定核・SSoT は不変。
- 版スタンプを v2.29（2026-07-04）から現行の v2.16（2026-08-24）へ更新。2026-08 に版番号系列を再編したため、番号は小さくなりますが日付が新しいほうが最新版です。
現行の弱レンズ側の主張は、恒等予言 F5（レンズ／力学比＝1・偏差 ≲ 10⁻⁷）のみです。標準MOND も ΛCDM も比＝1 を予言するため、これは膜を見分ける検定にはなりません。Euclid／Rubin の役割は膜を見分けることではなく、採択構成を反証しうるかどうかの検定です。
重力子内包機構による暗黒物質的現象の説明は理論的再構築の段階にあり、観測による正の証拠は未確立です。膜モデルは銀河スケールの観測を再現できますが、その成功は標準MOND／暗黒物質（ΛCDM）と数学的に区別できません（縮退）。SSoT を動かしうる観測経路は、ボイド銀河のヒステリシス零テスト（R1・WALLABY 本サーベイ待ち）ただ一本です。かつて第二の柱としていた弱重力レンズのスリップ署名は 2026-08-22（AP-5）に撤回され、レンズ側は「比は 1 のまま」という恒等予言 F5（偏差 ≲ 10⁻⁷）へ一本化されました。F5 は膜を見分ける検定ではなく採択構成の反証枠であり、F5 の NULL 観測を支持証拠として扱いません。
関連：公理・記号／矮小楕円体銀河（dSph）への拡張。すべての定義・データ・コードは GitHub 公開リポジトリ で確認できます。
※ 2026-08 に版番号系列を再編しました（旧 v2.29／v3.92 系列を継承）。
使用データ：SPARC（Lelli et al. 2016, 175銀河）・LITTLE THINGS（Oh et al. 2015, 26銀河）ほか公開データ。確定核（回転曲線 467.7／184.7／170.0・mu=eps・a₀・s₀=0.3515・T_m=2.4492・g_c/a₀=0.228）は不変。方程式系の微視的基礎は形のレベルでは付与済み（基準文書 9章・v2.1）ですが、数値の予言化（M8）は未達で、s₀・T_m は較正値です。